Propuesta Numeración Cuarto y Quinto grado

Los errores recurrentes evidenciados en nuestros alumnos por el bajo porcentaje de respuestas correctas en el bloque de «Numeración» siguen teniendo sus causas en el aprendizaje del Sistema de Numeración.

Es importante remarcar que la incorporación de los números decimales y las fracciones en el Segundo Ciclo, implica un nuevo trabajo en la tarea docente, con la consabida complejidad que representa el aprendizaje de estos conjuntos numéricos.

Se seguirá trabajando con problemas dentro del contexto del dinero. Remitirnos al dinero como puerto de partida presenta la ventaja de relacionar el trabajo que se pretende iniciar con prácticas sociales extraescolares de mucha familiaridad para los alumnos. Por, ello, dichos conocimientos externos a la matemática permiten anticipaciones y controles sobre los cálculos matemáticos que los alumnos realizan. A su vez, permiten una diversidad de procedimientos y movilizan los conocimientos de los cuales disponen los alumnos. La potencialidad del contexto, reside en que permite tender un puente entre las relaciones que se establecen a partir de las prácticas sociales (por ejemplo, el conocimiento del valor de las diferentes monedas y sus equivalencias) y aquellas que son internas a la matemática (por ejemplo, la comprensión del significado de las notaciones decimales: el lugar después de la coma es de los décimos, o diez centésimos equivalen a un décimo).

A continuación les proponemos algunas actividades, que son parte de la secuencia propuesta «Aportes para el desarrollo curricular. Matemática. Acerca de los números decimales: una secuencia posible.»

Equivalencias con dinero

Esta actividad pretende: permitir la reconstrucción de una cantidad de dinero usando monedas de determinada clase, escribir expresiones que representen equivalencias entre cantidades y analizar la información contenida en la notación decimal.

Se les presenta a los alumnos, una serie de problemas que tienen por objetivo que realicen composiciones y descomposiciones de cantidades de dinero utilizando diferentes monedas y estableciendo equivalencias entre ellas. Las equivalencias permiten poner en juego las primeras relaciones entre pesos y centavos que se constituirán en el punto de partida para estudiar las relaciones entre enteros, décimos y centésimos.

Problema 1

• Con monedas de los siguientes valores escribí tres formas distintas de pagar $3,75. (Se pueden usar varias monedas del mismo valor).

• Anotá dos o tres maneras diferentes de formar: $0,87 y $2,08.

Problema 2

• Para resolver en parejas: “Si recibís quince monedas de 10 centavos, siete monedas de 25 centavos y trece monedas de 50 centavos, ¿cuánto dinero recibiste?”
• Un chico recibió dinero con las siguientes monedas: doce de 10 centavos, dos de 1 peso, ocho de 1 centavo y tres de 25 centavos. Para saber cuánto había ganado hizo cálculos con la calculadora y obtuvo el siguiente resultado: 4,03. Sabemos que el resultado es correcto. ¿Qué cálculos puedo haber hecho para obtener en el visor de la calculadora este número? Anótalos y verifícalos con tu calculadora.

Problema 3

Si sólo tuvieras monedas de 10 centavos, ¿cuántas necesitarías para pagar justo estas cantidades?

• $1
• $0,80
• $2,20
• $12,50
• $4,25
• $4,03
• $0,05

Problema 4

• Se quiere repartir $1 entre diez chicos, de manera que todos reciban la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
• ¿Y si se quisieran repartir $2 entre diez?
• ¿Y si fuesen $5 entre diez?¿Y $2,5?
• ¿Cuánto le tocaría a cada uno si fuesen $0,80?
• ¿Y si fuesen $0,10?
•  Si pago 10 centavos con una moneda de $1, ¿cuánto me dan de vuelto?¿Cómo escribirías en la calculadora una cuenta que te dé la respuesta?
• Tengo 2 pesos con 73 centavos y necesito llegar a 3 pesos, ¿cuánto me falta? ¿qué cuenta habría que hacer en la calculadora? Anótala y luego comprueba.
• ¿Cuánto es necesario agregar si tengo 2 pesos con 3 centavos y necesito 3 pesos?¿Cómo sería la cuenta en la calculadora?

Problema 5:

Con tres monedas de $0,50; tres monedas de $0,25 y tres monedas de $0,10; ¿se pueden pagar justo las siguientes cantidades?¿Cómo? Anótalas. (No hace falta que uses todas las monedas)

$ 1,80
$ 2,45
$1,05
$1,15
$2,60

¿Será posible hacerlo de diferentes maneras? También anótalas.

Medidas de segmentos

Luego de haber trabajado en la primera parte en el contexto del dinero, se les propone a los alumnos este nuevo problema que les exigirá usar los conocimientos en un nuevo contexto: la medida de longitudes, y pondrá en juego, de manera más explícita, la relación entre las fracciones decimales y los números decimales.

Esta actividad pretende: expresar medidas de longitudes en términos de fracciones decimales y escrituras “con coma”, expresar una medida de longitud utilizando escrituras aditivas equivalentes de fracciones decimales, relacionar las fracciones decimales y las escrituras con coma.

Toda la actividad se desarrolla a través de un juego de comunicación en el que un grupo de alumnos dicta a otro grupo las medidas de ciertos segmentos, siguiendo las consignas dadas.

Materiales (por equipo, para toda la secuencia de trabajo):

• Reglas, hojas en blanco y lápiz.
• Material que deberá tener el docente:
  • 6 hojas iguales con segmentos trazados de las siguientes medidas: 1,3 cm; 1,4 cm; 1,5 cm; 1,6 cm; 1,7 cm; 1,8 cm; 1,9 cm; 2 cm; 13 cm; 14 cm; 15 cm; 16 cm; 17 cm; 18 cm; 19 cm; 20 cm; que serán utilizadas en varias fases de la secuencia.
  • 1 hoja con un segmento de 13 cm
  • 4 hojas con un segmento de 14 cm
  • 4 hojas con un segmento de 15 cm
  • 1 hojas con un segmento de 16 cm
  • 1 hojas con un segmento de 17 cm
  • 1 hojas con un segmento de 18 cm
  • 3 hojas con un segmento de 19 cm
  • 3 hojas con un segmento de 20 cm

Organización de la clase

Se divide toda la clase en una cantidad par de quipos. Si, por ejemplo, fuesen 6 equipos jugarán apareados: equipo A con B, el C con el D y el E con el F. Cada equipo recibirá una hoja con un segmento dibujado y una hoja con todos los segmentos. El juego consiste en informar al equipo con el que se juega, a través de un mensaje escrito, cuál es el segmento recibido para que pueda identificarlo. Para ello, el docente les indicará qué condiciones deberá tener el mensaje.

Fase 0 (optativa)

Se puede proponer inicialmente una actividad cuyo objetivo es que los niños se familiaricen con la situación. Se muestra a la clase la hoja con todos los segmentos explicando a los alumnos que cada grupo recibirá dos hojas: una que es fotocopia de la que tiene todos los segmentos dibujados y otra con uno de esos segmentos, que el equipo con el que juegan no puede ver. El docente entrega a cada uno de los equipos una hoja con uno de los siguientes segmentos dibujado: 13 cm; 14 cm; 15 cm; 16 cm; 17 cm y 18 cm. Se explica a los alumnos que deberán enviar al equipo con el que juegan un mensaje para informar cuál ha sido el segmento. No se puede dibujar el segmento como parte del mensaje. Luego se intercambian los mensajes elaborados por cada grupo remitiéndolos al grupo receptor. En función de la información recibida, los niños que reciben el mensaje deben decidir a cuál de los segmentos de la hoja corresponde el que tienen sus compañeros. Una vez decidido, ambos grupos verifican si efectivamente lograron hallar el segmento de sus compañeros.

Primera fase:

Restricciones en la unidad de medida y utilización de fracciones con denominador 10, 100 ó 1000.
Las reglas de juego de esta fase son similares a las mencionadas en la actividad de familiarización propuesta. En el caso de no haber realizado aquella, será necesario plantear aquí las reglas de juego. Se agregan ahora dos nuevas restricciones para la elaboración de los mensajes: hay que dar la información en metros y solamente se pueden usar fracciones con denominador 10, 100 ó 1000.
Se distribuyen ahora los segmentos de 19 cm y 20 cm del siguiente modo: para los equipos A, C y E, el de 19 cm; y para los otros tres, el de 20 cm. Se espera que los alumnos produzcan mensajes como los siguientes: para el de 20 cm,  m;  m; dos de  m; veinte de  de metro. Algunos posibles errores en relación con este segmento son   m o   m.
Luego intercambian los mensajes y se verifican por superposición si han encontrado el segmento correspondiente. Si no se superponen, se realiza un primer análisis entre los equipos que se han intercambiado el mensaje. Se les propone encontrar en dónde residió la dificultad: ¿hubo errores en el mensaje?, ¿se entendió el mensaje?, ¿qué debería haber dicho el mensaje para saber seguro de qué segmento se trataba?, ¿estaba bien el mensaje y fue mal interpretado?, ¿qué es lo que entendieron los que lo leyeron?, entre otros.
En la puesta en común se analizan las dificultades que encontraron para elaborar el mensaje y se analizan las diferentes escrituras. En este momento, el docente recupera lo realizado con el dinero en relación con las equivalencias: qué parte del metro es 10 cm; qué parte del metro es 1 cm y qué parte del metro es 1 mm, y se establecen las equivalencias correspondientes. Por ejemplo, «para 19 cm se puede escribir  de metro o de metro».
El maestro podrá proponer ahora a los alumnos que, en parejas, escriban cómo sería un mensaje para un segmento de 23 cm o para segmentos de otras medidas.
Esta actividad tiene por finalidad reinvertir los conocimientos que han circulado en la puesta en común.
Luego, el maestro les solicita escribir otro mensaje para segmentos de 1,5 cm y 2,3 cm. Tendrán que utilizar aquí necesariamente escrituras con milésimos de metros. Por ejemplo, para 1,5 cm,  de metro (o bien,   de metro y  de metro, escritura que se abordará en la fase siguiente).

Segunda fase:

Utilización de expresiones aditivas de fracciones decimales.
Nuevamente se juega repartiendo a cada grupo una hoja con todos los segmentos y una hoja con un solo segmento. Esta vez, los segmentos que reciben tres de los grupos son de 14 cm y, los otros tres grupos, de 15 cm. Se les dice a los alumnos que se ha agregado una restricción más: en las fracciones solamente se pueden utilizar numeradores de una sola cifra La intención es que los alumnos puedan «desarmar» el 0,14 metros o 14 cm apelando a escrituras del tipo  m o bien  y 4 de . Es posible que aparezcan también las siguientes escrituras erróneas:   .
Otras escrituras aditivas válidas son descomposiciones como las siguientes que, si bien no se corresponden con los valores de cada cifra en la notación decimal, sí respetan las restricciones propuestas:
Por ejemplo, para un segmento de 14 cm:



En la puesta en común podrán retomarse estas escrituras vinculándolas con aquellas que se corresponden con las notaciones decimales:   o también . En la discusión colectiva se analizan las diferentes escrituras, se establece cuáles son correctas y cuáles no lo son y por qué. Se establece la equivalencia entre las diferentes escrituras correctas.
Luego se analiza la relación entre la escritura decimal y la fraccionaria. Por ejemplo, en la escritura 0,14, el número 1 representa  y el número 4 representa 4 de , o sea, . Se plantea entonces que 0,14 es igual a . El maestro introduce la notación decimal sobre la base de las relaciones producidas: la primera posición después de la coma corresponde a los décimos de metro, y la segunda, a los centésimos de metro.

Tercera fase:

Reinversión de los conocimientos que se han puesto en juego en la fase anterior.
A continuación el docente puede proponer diferentes problemas:
– Escribir mensajes para nuevos segmentos hipotéticos. Por ejemplo: escribir cómo sería el mensaje para cada uno de estos segmentos: 0, 57 m; 1,06 m; 3,4 cm; 3 mm; 2,39 m;  habilitando la escritura de enteros ( ).
– Dibujar segmentos a partir de longitudes dadas. Por ejemplo: ;         ; .
– Comparar medidas expresadas en números decimales con otras expresadas en fracciones. Por ejemplo: «Tengo un segmento de 0,63 m, y otro de  y otro de . ¿Cuál es más largo?».

Cartas con decimales

Luego de haber trabajado en la primera parte en el contexto del dinero y en la segunda  en el contexto de medida de longitudes, se propone revisar lo trabajado en esos contextos estableciendo aquellas equivalencias que se concluyeron en las actividades precedentes. Por ejemplo:
$ 0,1 =   de peso
$ 0,01 =  de peso
0,1 m =  de metro
0,01 m= de metro
0,001 m= de metro

Esta actividad pretende: establecer equivalencias de expresiones con diferentes unidades contiguas: 10 de un orden equivalen a 1 del orden que le sigue a su izquierda.

1 equivale a 10 de 0,1;

1 equivale a 100 de 0,01;

1 equivale a 1000 de 0,001;

0,1 equivale a 10 de 0,01;

0,1 equivale a 100 de 0,001; como así también analizar el valor posicional en las escrituras decimales.

Se presenta el siguiente problema –para ser resuelto en parejas– que tiene por objetivo que los alumnos profundicen el análisis del valor posicional en las escrituras decimales.

Problema 1

Si tuvieran un mazo con las siguientes cartas:
– 10 cartas de 0,1

– 10 cartas de 0,01

– 10 cartas de 0,001

a) ¿Con cuáles cartas armarías los siguientes números: 0,2; 0,03; 0,005; 0,25 y 0,375?
b) Juan usó 3 cartas de 0,001, 3 de 0,1 y 4 de 0,01. ¿Qué número armó?
c) Intenten armar el 1,02 de dos maneras diferentes. ¿Y el 1,2?
d) ¿Qué número se arma con las treinta cartas juntas?

Problema 2

Un nene hizo el siguiente cálculo para saber qué número se arma con las cartas que tiene: 5 x 0,1 + 3 x 0,01. ¿Cuál era el número?

Problema 3

Si en el visor de la calculadora escriben el número 3,452, ¿qué deberé hacer con la máquina para que aparezca el número 3,402 sin borrar? ¿Y para que aparezca el 3,052?
Si en el visor de la calculadora está el número 2,347, ¿qué deberé hacer para que aparezca el número 2,007 sin borrar?
Esta tercera parte permitiría a los alumnos identificar con mayor precisión cuestiones relativas al valor posicional en las escrituras decimales. Es interesante destacar que no es suficiente la resolución de los problemas para que todos los alumnos tomen conciencia de los conocimientos a los que se apunta en esta parte de la secuencia. Es el docente quien promueve el intercambio entre los alumnos focalizando sobre ciertos aspectos que busca abordar. De este modo se potencia la explicitación y el establecimiento «oficial» de las nuevas relaciones que se han profundizado.
A lo largo de este tercer momento del trabajo con los decimales, asistimos a una progresiva descontextualización de estos números, una utilización con cierta independencia de su significado en los contextos del dinero y las medidas de longitud. Sin embargo, dichos contextos siguen constituyendo una referencia en la cual los alumnos pueden apoyarse para pensar las nuevas relaciones aquí involucradas.

Multiplicación y división por 10, 100 y 1000 de expresiones decimales

En esta cuarta etapa, se tratará que los alumnos realicen anticipaciones anotándolas y luego verifiquen con la calculadora. Estas anticipaciones ponen en juego conocimientos que han circulado en la parte anterior de la secuencia sobre el valor posicional y la relación entre órdenes contiguos (diez de uno equivalen a uno del orden inmediato superior).
El docente propondrá los cálculos sucesivamente de tal manera que la verificación de cada uno de ellos permita a los alumnos avanzar en los procedimientos a utilizar en los siguientes.
Esta actividad pretende: promover el análisis y la búsqueda de las razones de las regularidades cuando se multiplica o divide un número decimal por la unidad seguida de ceros. También que se establezcan las relaciones multiplicativas involucradas en nuestra notación posicional a propósito de las escrituras decimales (tomándolas como extensión de las relaciones ya elaboradas en el campo de los números naturales).

Problema 1

a) ¿Qué resultado aparecerá en el visor de la calculadora si hacemos 0,5 x 10?
b) ¿Y si hacemos 0,05 x 10?
c) ¿Y 0,05 x 100?
d) ¿Y 0,5 x 100?

Problema 2

• Si tuvieran en la calculadora escrito en el visor el número 3,25, ¿qué habría que hacer para que apareciera 325 sin borrar lo que se tiene y con un único cálculo? Escriban el cálculo que creen necesario realizar. Fundamenten su elección. Luego verifiquen con la calculadora.
• ¿Y para que apareciera 0,325? ¿Y 3250? ¿Y 32,5? Nuevamente escriban el cálculo pensado y fundamenten su elección. Verifiquen con la calculadora. Prueben con otros números nuevamente con un único cálculo. (Por ejemplo, pasar de 5,356 a 535,6 ó 0,5356, entre otros).

Problema 3

Con la calculadora, proponer una cuenta que dé por resultado 0,1. No se puede apretar la tecla de la coma. ¿Y otras que den por resultado 0,01; 0,2; 0,5; 3,2?

Problema 4

(Organización de la clase: por parejas)
Dados ciertos números en una tabla, poner cuentas en la calculadora que den por resultado dichos números, sin oprimir la tecla del punto. Es necesario plantearlo con un único cálculo. Luego que todas las parejas han terminado, se verifican los cálculos propuestos con la calculadora. Si la cuenta propuesta es acertada, se suman 10 puntos por equipo. Juegan en parejas. Gana la pareja que obtiene más puntos.

Luego que los alumnos han completado la tabla, se organiza una puesta en común en la que se explicitan los razonamientos que los llevaron a esos cálculos y se formula una justificación de por qué estos funcionan.

En esta propuesta se ha presentado “un recorrido posible” para la introducción y una profundización en el significado de los números decimales. En este sentido, el trabajo desarrollado en las aulas pone de manifiesto cómo, a partir de un uso de los números en el contexto más familiar del dinero, se realiza un primer análisis de las escrituras decimales. Luego se observó cómo los diferentes grupos de alumnos avanzaban estableciendo nuevas relaciones, esta vez entre las fracciones y escrituras decimales, en el contexto de las medidas de longitud. En el trabajo en torno de los problemas que siguen, los alumnos se introducen en el análisis de las relaciones aditivas y, finalmente,  multiplicativas involucradas en los números decimales.